Teorema Bayes

Teorema Bayes, diambil dari nama Rev. Thomas Bayes, menggambarkan hubungan antara peluang bersyarat dari dua kejadian A dan B sebagai berikut:

P(A | B) = P(A | B) P(A)
P(B)

atau

P(A | B) = P(A | B) P(A)
P(B | A)P(A) + P(B | A)P(A)

Contoh aplikasi dari Teorema Bayes

Di sebuah negara, diketahui bahwa 5% dari penduduknya menderita sebuah penyakit langka. 92% dari hasil tes klinik adalah positif bahwa seseorang menderita penyakit itu. Ketika seseorang yang tidak menderita penyakit itu dites dengan tes yang sama, 10% dari hasil tes memberikan hasil positif yang salah.

Marilah kita lambangkan informasi di atas sebagai berikut:

  • B = Kejadian tes memberikan hasil positif.
  • B = Kejadian tes memberikan hasil negatif.
  • A = Kejadian seseorang menderita penyakit langka itu.
  • A = Kejadian seseorang tidak menderita penyakit langkat itu.

Kita ketahui juga peluang dari kejadian-kejadian berikut:

  • P (A) = 5%
  • P (A) = 95%
  • P (B | A) = 92%
  • P (B | A) = 10%

Dengan menggunakan rumus untuk peluang bersyarat, dapat kita simpulkan peluang dari kejadian-kejadian yang mungkin terjadi dalam tabel di bawah ini:

A (5%) A (95%)
B Positif yang benar
P (B ∩ A) = = 5% × 92% = 0.046
Positif yang salah
P (B ∩ A) = 95% × 10% = 0.095
B Negatif yang salah
P (B ∩ A) = 5% × 8% = 0.004
Negatif yang benar
P (B ∩ A) = 95% × 90% = 0.855

Misalnya seseorang menjalani tes klinik tersebut dan mendapatkan hasil positif, berapakah peluang bahwa ia benar-benar menderita penyakit langka tersebut?
Dengan kata lain, kita mencoba untuk mencari peluang dari A, dimana B atau P (A | B).

Dari tabel di atas, dapat kita lihat bahwa P (A | B) adalah peluang dari positif yang benar dibagi dengan peluang positif (benar maupun salah), yaitu 0.046 / (0.046 + 0.095) = 0.326.

Kita dapat juga mendapatkan hasil yang sama dengan menggunakan rumus teorema Bayes di atas:

P(A | B) = P(BA)
P(B)
= P(A) × P(B | A)
P(B | A)P(A) + P(B | A)P(A)
= 5% × 92%
(92% × 5%) + (10% × 95%)
= 0.046
0.046 + 0.095
= 0.046
0.141
P(A | B) = 0.326